Daniels-Gilbert Formülü

Koşmanın psikolojik ve felsefi yönü, koşucunun iç dünyası ile ilgili Anton Krupicka’nın yazısı çok beğenildi. Ama ben, koşucular arasında matematiği seven, antrenmana mühendislik bakış açısıyla yaklaşanlar olduğunu da biliyorum. Yabancıların “humanity” dediği bizde “sosyal bilimler” olarak geçen alanda iyiymişiz, onu gördük. Peki, gelin hep birlikte koşu hakkında derin bir matematik konusu açalım, bakalım kaç kişiyi kaçıracağız. 🙂

23 Ocak 2011 tarihinde Ritim‘de “VO2Max ve VDOT” başlıklı bir yazı yayınlamıştım. VO2Max hakkında bilgiler paylaşmış, sonrasında VDOT konusuna girmiştim. 1970’li yıllarda Jack Daniels ve çalışma arkadaşı Jimmy Gilbert’in orta ve uzun mesafede yarışan elit atletlerin ölçülmüş VO2Max değerleri üzerinde çalıştıklarını ve bu çalışmaları sonucunda, yakın bir tarihte koşulmuş bir yarışın sonucunu kullanarak VDOT tespiti yapmaya yarayan formüller ve tablolar ortaya koyduklarını belirtmiştim. Daniels ve Gilbert’in tüm çabası, yaklaşan yarışları için koşucuların geçmiş derecelerinden yola çıkarak tahminler yapmalarına yarayacak bir formül ve devamında tablolar ortaya çıkarmaktı. Bunu başardılar da. Doğal olarak formülün adı Daniels/Gilbert Formülü (yazının geri kalanında DGF olarak geçecek) oldu. Hatta koşu ile ilgilenen çok sayıda insanın kitapları karıştırırken muhakkak rastlamış olduğunu düşündüğüm ünlü “Daniels’ Running Formula” isimli bir kitap da vardır. Benim bu yazıyı yazarken temel aldığım -hatta neredeyse kısaltılmış bir çeviri diyebileceğimiz- makaleninyazarı Larry Simpson, bu formüle “Drop Dead Formula” (Ölme Formülü) adını vermiş. Çünkü formül bir koşucunun belirli bir süre boyunca var/tüm gücüyle (all-out) koşabileceği yoğunluğu ele almaktadır. Daniels ve Gilbert, orta ve uzun mesafe elit atletlerin ölçülmüş gerçek VO2Max derecelerini kullanmışlar ve bu atletlerin değişik mesafeler için gerçekten var olan tüm güçleri ile sonuna kadar zorladıklarını fark etmişlerdir.

Daniels' Running Formula

Ünlü kitap

Günümüzde bir çok kaynakta DGF kullanılarak üretilmiş tablolara veya bu formülü kullanan hesaplayıcılara rastlamak mümkündür. Ancak ne yazık ki formülün ne olduğu ve nasıl ortaya çıktığı konusunda fazlaca -hele de Türkçe- kaynak bulmak pek mümkün değil. Hatta -her ne kadar isminde formül kelimesi geçse de- yukarıda bahsettiğim kitapta dahi bu formül yer almaz. Tabii ki bunun nedeni formülün insanlardan saklanmaya çalışılması değil sadece bilimsel detaylarla insanların kafasını karıştırmak istenmemesidir. Ama ben bu yazıda bundan keyif alanları hedef kitle olarak benimsediğimden, böyle bir korkum yok. Zaten birincil amacım formülü ve arkasında yatan matematiği anlamak; anlatmak ikincil amacım. 😉

Şimdi, VO2Max, oksijen tüketimi ile ilgili olduğuna göre ele alacağımız ilk formül “Oksijen Tüketim Formülü” (Sheehan, Fitts, et al.):

O2tüketimi = 0.182258 * (hız) + 0.000104 * (hız)^2 – 4.60

Oksijen tüketimi

Oksijen tüketimi formülü (v = hız)

Formüldeki hız, metre/saniye cinsinden koşu hızını ifade etmektedir. Sonuç ise dakikada, koşucunun ağırlığının kilogramı başına harcanan oksijen miktarını mililitre cinsinden verir (ml/kg/dk). Diyelim 5 km’yi 20 dk’nın altında koşmak gibi bir hedefiniz var (örn: 19:50). Bunun için gereken oksijen tüketimi nedir? 5000 metreyi 19.84 (19 dk 50 sn’nin dakika cinsinden değeri) dakikada koşmak için hızımızın 252 m/dk olması gerekir. Formülde yerine koyarsak:

O2tüketimi = 0.182258 * (252) + 0.000104 * (252)^2 – 4.60 = 47.93 ml/kg/dk

Bu sadece belirli bir hızda 5k koşmak için gereken oksijen tüketimini verdi bize. Şimdi gerçek DGF’ye bir göz atalım.

I = 0.2989558e^(-0.1932605*t) + 0.1894393e^(-0.012778*t) + 0.8

Daniels/Gilbert Drop Dead Formula - Yoğunluk verir (t = süre)

Eğitim hayatınızda matematikten uzak durabileceğiniz bir kulvarda kaldıysanız bu formül biraz ürkütücü görünmüş olabilir. Biraz detayına bakalım. Buradaki “e” matematikte Euler sayısı olarak bilinir ve değeri yuvarlak haliyle 2.7182’dir. Euler sayısının detaylarına burada girmeyeceğim ama siz dilerseniz wikipedia sayfasından göz atabilirsiniz. Yukarıdaki formül, belirli bir antrenman yoğunluğunu (I=Intensity) bulmak için kullanılıyor. İçindeki t (time) ise koşucunun bu yoğunlukta ne kadar süre koşabileceğini ifade ediyor. Yani özetle, bu formül, yavaşlamaya başlamadan önce, t kadar süre boyunca, maksimum oksijen tüketiminizin yüzde kaçında koşabileceğinizi hesaplamaya yarıyor. Ne demiştik 19:50 sürede 5K koşacağız. 19.84 dakika değerini t yerine koyalım.

I = 0.2989558*e^(-0.1932605*19.84) + 0.1894393*e^(-0.012778*19.84) + 0.8
I = 0.9535 = %95.35

Demek ki 19:50 sürede 5k koşmak için 19.84 dakika boyunca maksimum oksijen tüketiminizin %95’i civarında bir zorlukta koşmalısınız. Diyelim bir fizyoloji laboratuvarına gidip gerekli testleri yaptırdınız ve VO2Max’ınız 52 ml/kg/dk çıktı. O zaman 5k’yı 19:50 koşabilmeniz için o kadar süre boyunca oksijen tüketiminiz 49.58 ml/kg/dk olmalı (52 * 0.9535 = 49.582).

Bir önceki formülü kullanarak hedeflediğimiz hızda koşmanın 47.93 ml/kg/dk oksijen tüketimi gerektirdiğini bulmuştuk. Bu değer 49.58’den küçük olduğuna göre hedefin ulaşılabilir olduğunu artık biliyoruz. Hala içinizde 1.652 ml/kg/dk oksijen gücü kalacak demektir. O halde akla şu geliyor, bu kalanı da sonuna kadar kullanabilirse bir koşucu bu mesafeyi ne kadar zamanda koşabilir? İşte DGF kullanılarak ortaya çıkarılan tablolar bu değerleri bulmak için kullanılıyor. Tablolar yerine şu adresteki hesaplayıcıyı kullanarak 52 ml/kg/dk için 5k sonucuna bakabiliriz. 19:17. Demek ki güvenilir test ve ölçümler sonucunda elde ettiğimiz 52 değerine karşılık gelen 5k derecesi bu. Ancak bir koşucunun performansını sadece VO2Max belirlemez. Koşu ekonomisi ve laktat sınırları da performansa etki eder. Ritim’deki yazımda buna örnek olarak Lance Armstrong’u vermiştim. Ölçülmüş VO2Max’ı ile 2:03 maraton koşması gerekirken en iyi maraton derecesi 2:46 idi. DGF, sabit koşu ekonomisi ve laktat sınırı kabulü ile oluşturulmak zorundaydı. Bu genellikle doğru sonuç verecektir ama istisnalar olacağını göz ardı etmemek gerek. Bu yüzden Daniels/Gilbert tabloları ölçülmüş VO2Max değerleri ile değil koşucunun bir mesafedeki en iyi derecelerine göre kullanılacak şekilde tasarlanmıştır.

Bilinen bir VO2Max için olası en iy yarış derecesini hesaplarken oksijen tüketimi formülünü yarış yoğunluğu formülüne bölmek gerekir (O2tuketimi = I * VO2Max olduğundan VO2Max = O2tuketimi / I). Takdir edersiniz ki bu iki formülün birbirlerine oranları matematiksel anlamda, çözülmesi güç bir eşitliktir. Doğru biçimde çözülmesi için “limit” kavramının kullanılması gerekir.

f(t) = oksijen tüketimi formülü / yarış yoğunluğu

f(t) fonksiyonunun kökünü bulmamız gerekiyor. Yani belirli bir mesafe için oksijen tüketiminin yarış yoğunluğuna bölümünün oksijen alımına eşit olduğu yeri bulmak istiyoruz;

f(t) = 0 = (oksijen tüketimi formülü / yarış yoğunluğu ) – VO2Max

Bunun için anlatması, anlaması ve uygulaması en kolay yöntem “bisection yöntemi” olarak bilinen yöntemdir. Yöntemin özeti, çözüme başlarken anlamlı iki tahmin yapmak ve bu iki tahmin için çözümü bulup sonuçlara göre yeni iki tahminle devam etmektir. Bir süre sonra -belirli bir tolerans dailinde- çözümü sağlayan değere -veya çok yakınına- ulaşılır. Bisection yöntemini çalışırken görmek için şu adresteki appleti deneyebilirsiniz. Örneğin “f(x)” alanına 4x-8 yazalım. Bu fonksiyonun çözümünün 2 olduğunu biliyoruz ama örneğimizin basit olması gerek. “Interval” alanına da [1,8] yazalım. Yani üst ve alt tahminlerimiz 1 ve 8 olsun. “Tolerance” için de 1E-8 yazalım. Önce “Draw” düğmesine basın, fonksiyonun grafiği çizilecek. Kökü, yani grafiğin x eksenini kestiği yeri arıyoruz. “Bisect” düğmesine her bastığımızda hesaplar yapılıp bulunan değer grafikte gösterilecek. 28 basıştan sonra belirlediğimiz tolerans içerisinde bir çözüm bulunur, 2’ye çoook yakın bir sonuç.

Daha hızlı ama daha zor olan başka bir yöntem vardır; Newton-Raphson İterasyonu. Bu yöntemde de yine anlamlı bir tahmin ile başlanır ve çözüm ilerletilir. İlk tahmin ile fonksiyon ve ilk türevi çözülüp oranları bulunur. Her sonuç alınıp yine fonksiyon ve türevine yerleştirilir ve çözülür. Ne kadar tekrarlanırsa o kadar doğru bir çözüme ulaşılır. Daniels ve Gilbert ikilisi de bu yöntemi kullanmışlardır. Newton-Raphson yöntemini çalışırken görmek için şu adresindeki appleti kullanabilirsiniz. Burada 4x-8 fonksiyonu ile deneme yapmak çok anlamlı olmaz. Çünkü bu yöntem ilk türevi kullanır ve 4x-8’in ilk türevi 4’tür, dolayısıyla bir öteleme sonra duracaktır. Bu yüzden applet içindeki örneklerden birini deneyebilirsiniz (örn; polynomial).

Tamam şimdi bu yöntemlere şöyle bir göz attıktan sonra yarış tahmini için kullanmayı düşündüğümüz fonksiyonumuzu Newton-Raphson ile çözmeye çalışalım. Mesafe için 5000 metre ve VO2Max’ı da 52 ml/kg/dk alacağız. Aşağıdaki fonksiyonda hız yerine mesafe bölü zaman kullanıldığından bölmenin üst tarafı size biraz farklı gelebilir, şaşırmayın.

f(x)= ((((0.000104) * (5000^2) * (x^-2)) + ((0.182258)*5000*(x^-1))-4.6)/((0.2989558*exp( -0.1932605*x)) + (0.1894393 * exp(-0.012778*x)) + 0.8)) – 52

Yarış tahmin formülü

Yarış tahmin formülü

Hesabı yapmak için bu fonksiyonun bir de türevini almanız gerekecek. Ama bence hiç uğraşmayalım az önceki applet sayfasını kullanalım. Ben bu formülü az önceki applete girdim (ne yazık ki kopyala yapıştır kabul etmiyor ama benim yukarıya yazdığımın aynını yazarsanız çalışıyor). Interval olarak [10,25] arası girdim. Aslında burada tek değer kullanıyor ama grafik çizimi için aralık istiyor. Kullandığı değer üst sınır yani bu durumda 25. “Accuracy” alanına da 1E-4 girdim. 35 öteleme sonrasında 19.27540257226534 sonucunu buldu. Yani 19 dakika 17 saniye (aslında 16.524 saniye, ben yukarı yuvarladım).

Newton-Raphson yöntemi ile çözüm

Newton-Raphson yöntemi ile çözüm

Yine hatırlatmakta fayda var, sadece oksijen tüketebilme kapasitesi yarış performansı hesaplamak için yetersizdir. Daniels ve Gilbert formüllerinde tüm koşucuları, elit atletlerle aynı koşu ekonomisi kategorisine koymuşlardır. Takdir edersiniz ki bu çok az insan için olasıdır. Dolayısı ile bu hesaplara koşucunun en son en iyi derecesini de katmalıyız. Bu şekilde daha iyi sonuçlara ulaşabileceğiz çünkü koşu ekonomisini ve diğer etkenleri, en son yapılmış kişisel en iyi derece ile hesaba dahil etmiş olacağız. Sonuçta elde edeceğimiz ise efektif VO2Max olmuş olacak. Aslında bu hesaplamada bizim yukarıda yaptığımızın tam tersi bir matematik uygulanıyor. Yani, bilinen bir VO2Max’dan bir zaman tahmini yapmak yerine bilinen bir zamandan efektif VO2Max’ı hesaplıyor. Efektif, çünkü en iyi derecemizin içinde koşu ekonomisi, koşu verimliliği, biomekanik ve mental dayanıklılık gibi değişkenlerimiz de var. Arkasında bu hesaplama  çalışan bir hesaplayıcıyı şu adreste görebilirsiniz. Bu ve benzeri hesaplayıcılardaki mantığı artık biliyoruz, kullanırken daha bilinçli olabiliriz. Ben bağlantısını verdiğimi sayfada 5k seçip en iyi derecem olan 0:19:58 girince altta “Predicted VO2 Max” olarak 49.9 ml/kg/min olarak çıkıyor.  Belki de gerçek bir ölçüm yaptırsam bu değerin üzerinde bir sonuç çıkabilir. Daniel ve Gilbert bu formül ve hesaplamaları kullanarak elde ettikleri sonuçları VDOT tablolarına dönüştürmüşlerdir. Bu tablolardan bazılarını şu adreste görebilirsiniz.

Bir kişisel en iyi dereceniz için elde ettiğiniz efektif VO2Max değerini alıp son fonksiyona yerleştirerek diğer mesafeler için de olası en iyi derecelerinizi bulabilirsiniz. Tabii ki kullandığınız en iyi dereceyi elde ettiğiniz mesafe ile olası en iyi derecenizi bulmaya çalıştığınız mesafe birbirine ne kadar yakınsa o kadar doğru sonuçlar elde edersiniz. Ayrıca mesafeler uzayıp işin içine dayanıklılık ve mental etkenler daha çok girmeye başladığında tahminlerdeki sapma artıyor. Örneğin ben, 5k en iyi derecemin bana verdiği efektif VO2Max üzerinden bulduğum yarı maraton derecesini koşabildim. Ama yine aynı (dolayısı ile koştuğum o yarı maraton derecesinden de elde edeceğim) değeri kullanarak bulduğum maraton derecesini koşamadım.

Eğer yazıyı buraya kadar okuduysanız siz de benim gibi her şeyi sonuna kadar merak eden bir koşucusunuz demektir. Öyleyse sonraki yazılarımda da karşılaşacağız demektir. O zamana kadar görüşmek üzere, hoşçakalın.

Mert Derman

Yazar hakkında: Mert Derman

Ankara'da yaşıyor ve 2008'den beri koşuyor. Uzun mesafe koşu ve triatlon antrenmanları yapıp bu yarışlara katılıyor. Teknolojiye meraklı, işi de o konuda. Ilgaz Kuruyazıcı ile birlikte "koşturmaca podcast"ini kaydediyor ve her hafta yayınlıyor. Kişisel blogu http://ritimblog.com adresinde.

8 Cevaplar

  1. Levent Topcu dedi ki:

    Mert, çok arıza olmuş bu. Akşam sakin kafa tekrar okumayı planlıyorum. Kendi blogumda paylaşabilir miyim?

    • Mert Derman Mert Derman dedi ki:

      tabii ki… dilersen link ver çünkü ufak düzeltmeler veya eklemeler olabiliyor bazen…

  2. Asime Gündüz dedi ki:

    Koşuyla ilgilenen herkes X=v.t formülünü bilir mi? 252 m/dk nasıl bulduğunuzu yazmamışsınız:)

  3. Asime Gündüz dedi ki:

    ilk yorumu mu geri alıyorum. “Formüldeki hız, metre/saniye cinsinden koşu hızını ifade etmektedir. ” ifadesi varmış:)

  4. deniz poyraz dedi ki:

    VO2Max testinden sonra bu yaziyi tekrar okuyacagim, super bir yazi olmus tesekkurler.

  1. 03/10/2013

    […] ve runningforfitness.org siteleridir. İşin matematiğine girmek istersen -ki önermem- şurada Türkçe bir özet […]

  2. 30/12/2014

    […] için gereken biraz matematik biraz da istatistik. İşin matematik ve istatistik kısmından yani Daniels-Gilbert Formülü‘nden Koşu Gazetesi‘ndeki şu yazımda çok detaylı bir şekilde söz etmiştim. Bu […]

  3. 30/03/2016

    […] Aslına bakarsanız en çok bilinenlerinden biri olan Daniel-Gilberts formülü ile ilgili çok daha detaylı ve teknik başka bir yazıyı da Koşu Gazetesi‘nde yazmıştım. Bu uygulamaların yumuşak karınları tahmin için temel […]

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir